Question

20．已知f′（x）是函数f（x）的导数，?x∈R有f（x）-f（2-x）=6x-6，（x-1）[f′（x）-2x-1]＜0，若f（m+1）＜f（2m）-3m²+m+2，则m的取值范围为$（\frac{1}{3}，1）$．

Answer 1

分析 利用构造法设g（x）=f（x）-x²-x，推出g（x）的对称轴，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．

解答 解：构造函数g（x）=f（x）-x²-x，g′（x）=f′（x）-2x-1
当x＞1时，g′（x）=f′（x）-2x-1＜0，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∵?x∈R有f（x）-f（2-x）=6x-6
∴，?x∈R有g（x）=g（2-x），可得函数g（x）关于直线x=1对称．
∴函数g（x）在（-∞，1）上单调递增，
不等式f（m+1）＜f（2m）-3m²+m+2?g（m+1）＜g（2m）
|m+1-1|＞|2m-1|，得m²＞（2m-1）²
解得$\frac{1}{3}$＜m＜1．
则实数m的取值范围为：（$\frac{1}{3}$，1）

点评 本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，构造函数思想，属于中档题．