Question

5．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁和侧面CDD₁C₁都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A₁D₁的中点．
（1）求证：平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（2）若CF∥平面A₁BE，求棱BC的长度．

Answer 1

分析 （1）由题意可得DD₁⊥AD，且DD₁⊥CD，得到DD₁⊥平面ABCD，则BE⊥DD₁．再由∵△ABD是正三角形，且E为AD中点，得BE⊥AD．由线面垂直的判定可得BE⊥平面ADD₁A₁．再由面面垂直的判定得平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（2）由题意证明四边形BCFA₁是平行四边形，即可求得棱BC的长度．

解答 （1）证明：∵侧面ADD₁A₁和侧面CDD₁C₁都是矩形，
∴DD₁⊥AD，且DD₁⊥CD，
又∵AD∩CD=D，
∴DD₁⊥平面ABCD，而BE?平面ABCD，
∴BE⊥DD₁．
∵△ABD是正三角形，且E为AD中点，
∴BE⊥AD．
又∵AD∩DD₁=D，
∴BE⊥平面ADD₁A₁．
而BE?平面A₁BE，
∴平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（2）解：∵BC∥AD，F为A₁D₁的中点，
∴BC∥A₁F．
∴B、C、F、A₁四点共面．
∵CF∥平面A₁BE，
而平面BCFA₁∩平面A₁BE=A₁B，
∴CF∥A₁B．
∴四边形BCFA₁是平行四边形．
则BC=A₁F=$\frac{1}{2}$AD=1．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．