Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin²A+sin²B=sin²C-$\sqrt{2}$sinA•sinB，sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，若c-a=5-$\sqrt{10}$，则b=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简sin²A+sin²B=sin²C-$\sqrt{2}$sinA•sinB，求出cosC和sinC，由sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，c-a=5-$\sqrt{10}$，求出a，c．根据余弦定理即可求出b的值．

解答 解：∵sin²A+sin²B=sin²C-$\sqrt{2}$sinA•sinB，
由正弦定理a²+b²=c²-$\sqrt{2}$ab，
由余弦定理，可得cosC=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
c-a=5-$\sqrt{10}$，
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
可得a=$\sqrt{10}$，c=5，
由余弦定理：cosC=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，可得$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{{b}^{2}+25-10}{10b}$，
解得b=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力．属于基础题．