Question

8．给出下列命题：
①log_0.53＜2${\;}^{\frac{1}{3}}$＜（$\frac{1}{3}$）^0.2； 
②函数f（x）=log₄x-2sinx有5个零点；
③函数f（x）=ln$\frac{x-4}{x-6}$+$\frac{x}{12}$的图象以$（5，\frac{5}{12}）$为对称中心；
④已知a、b、m、n、x、y均为正数，且a≠b，若a、m、b、x成等差数列，a、n、b、y成等比数列，则有m＞n，x＜y．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据对数函数指数函数的性质，分别判断三个数值的大小进行比较即可．
②利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的相交问题进行求解即可．
③利用对称性的性质建立方程关系，进行求解．
④根据等比数列和等差数列的性质和公式进行证明．

解答 解：①∵log_0.53＜0，2${\;}^{\frac{1}{3}}$＞1，0＜（$\frac{1}{3}$）^0.2＜1，
∴log_0.53＜（$\frac{1}{3}$）^0.2＜2${\;}^{\frac{1}{3}}$；故①错误，
②由f（x）=log₄x-2sinx=0得log₄x=2sinx，
作出两个函数y=log₄x和y=2sinx的图象如图：
由图象知两个函数有5个交点，即函数f（x）有5个零点；故②正确，
③设f（x）的定义域为D，?∈D，有：$f（x）+f（10-x）=ln\frac{x-4}{x-6}+\frac{x}{12}+ln\frac{6-x}{4-x}+\frac{10-x}{12}=\frac{5}{6}$，
所以，函数y=f（x）的图象关于点$（5，\frac{5}{12}）$对称．
故函数f（x）=ln$\frac{x-4}{x-6}$+$\frac{x}{12}$的图象以$（5，\frac{5}{12}）$为对称中心，正确；故③正确，
④∵a、b、m、n、x、y均为正数，且a≠b，且 a、m、b、x成等差数列，∴m=$\frac{a+b}{2}$．
又  a、n、b、y成等比数列，∴n=$\sqrt{ab}$，由基本不等式可得 m＞n．
又 同理可得 b=$\frac{m+x}{2}$=$\sqrt{ny}$≥$\sqrt{mx}$，∴y＞x．
综上，m＞n，x＜y，故④正确，
综上正确的是②③④，共3个，
故选：C．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的零点，对称性，函数值的大小比较以及等比数列和等差数列的应用，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．