Question

13．已知f（x）=${cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$
（Ⅰ）写出f（x）图象的对称中心的坐标和单增区间；
（Ⅱ）△ABC三个内角A、B、C所对的边为a、b、c，若f（A）=0，b+c=2．求a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简得：f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得对称中心；
由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，可解得单增区间．
（Ⅱ）．由f（A）=0，由（Ⅰ）及范围0＜A＜π，可求A的值，根据余弦定理与基本不等式即可求解．

解答 解：（Ⅰ）化简得：f（x）=${cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$=cos（2x+$\frac{π}{3}$）…（3分）
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得对称中心为：${（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，0）_{（k∈z）}}$，
由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，可解得单增区间为：$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]{_{（k∈z）}}$…（6分）
（Ⅱ）．由（Ⅰ）．知：$f（A）=cos（2A+\frac{π}{3}）+1=0，可得：cos（2A+\frac{π}{3}）=-1$，
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{3}$．
∴$2A+\frac{π}{3}=π$，于是：$A=\frac{π}{3}$…（9分）
根据余弦定理：${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$=$4-3bc≥4-3{（\frac{b+c}{2}）^2}=1$，
当且仅当b=c=1时，a取最小值1…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质，余弦定理与基本不等式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．