Question

18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且一个焦点和短轴的两个端点构成面积为1的等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆C右焦点F作直线交椭圆C于点M，N，又直线OM交直线x=2于点T，$\overrightarrow{OT}$=2$\overrightarrow{OM}$，求线段MN的长；
（3）半径为r的圆Q以椭圆C的右顶点为圆心，若存在直线l：y=kx，使直线l与椭圆C交于A，B两点，与圆Q分别交于G、H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆O的半径r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且一个焦点和短轴的两个端点构成面积为1的等腰直角三角形及b²=a²-c²即可得出椭圆的标准方程；
（2）由$\overrightarrow{OT}$=2$\overrightarrow{OM}$，可得M的坐标，从而可求线段MN的长；
（3）把直线l的方程与椭圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|AB|，利用垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系得到|GH|，进而得出k．

解答 解：（1）∵椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且一个焦点和短轴的两个端点构成面积为1的等腰直角三角形，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$bc=1，b=c，
∴a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）由题意可知x_M=x_F=c=1，
故将x_M=1代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，可得|y_M|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而|MN|=$\sqrt{2}$．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由直线l与椭圆C，消去y得到（1+2k²）x²-2=0，则x₁+x₂=0，x₁x₂=-$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{\frac{8（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}}$．
点Q（$\sqrt{2}$，0）到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
则|GH|=2$\sqrt{\frac{7}{3}-\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$．
显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾．
∵|AG|=|BH|，∴|AB|=|GH|．
∴$\sqrt{\frac{8（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{7}{3}-\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
解得k²=1，即k=±1．

点评 熟练掌握椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与曲线相交问题转化为把直线l的方程与曲线的方程联立得到一元二次方程、利用根与系数的关系及弦长公式、垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系是解题的关键．