某统计部门就“A市汽车价格区间的购买意愿对100人进行了问卷调查.并将结果制作成频率分布直方图.如图.已知样本中数据在区间[10.15)上的人数与数据在区间[25.30)的人数之比为3:4．(Ⅰ)求a.b的值．(Ⅱ)估计A市汽车价格区间购买意愿的中位数,(Ⅲ)按分层抽样的方法在数据区间[10.15)和[20.25)上接受调查的市民中选取6人参加座谈.再从这6人中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

某统计部门就“A市汽车价格区间的购买意愿”对100人进行了问卷调查，并将结果制作成频率分布直方图，如图，已知样本中数据在区间[10，15）上的人数与数据在区间[25，30）的人数之比为3：4．
（Ⅰ）求a，b的值．
（Ⅱ）估计A市汽车价格区间购买意愿的中位数；
（Ⅲ）按分层抽样的方法在数据区间[10，15）和[20，25）上接受调查的市民中选取6人参加座谈，再从这6人中随机选取2人作为主要发言人，求在[10，15）的市民中至少有一人被选中的概率．

分析（Ⅰ）设样本中数据在区间[10，15）上的人数与数据在区间[25，30）的人数分别为3k，4k，利用频率分布直方图求出k，由此能求出a，b的值．
（Ⅱ）由频率分布直方图得数据区间[5，20）内的频率为0.4，数据区间[20，25）内的频率为0.3，由此能求出A市汽车价格区间购买意愿的中位数．
（Ⅲ）按分层抽样的方法在数据区间[10，15）和[20，25）上接受调查的市民中选取6人参加座谈，在数据区间[10，15）上选取2人，[20，25）上选取4人，由此利用对立事件概率计算公式能求出在[10，15）的市民中至少有一人被选中的概率．

解答解：（Ⅰ）设样本中数据在区间[10，15）上的人数与数据在区间[25，30）的人数分别为3k，4k，
则$\left\{\begin{array}{l}{（0.01+a+b+0.06+b+0.02）×5=1}\\{0.03k+0.04k+0.04k=1-（0.01+0.06+0.02）×5}\end{array}\right.$，
解得k=5，∴a=0.03k÷5=0.03，b=0.04k÷5=0.04．
（Ⅱ）由频率分布直方图得数据区间[5，20）内的频率为：（0.01+0.03+0.04）×5=0.4，
数据区间[20，25）内的频率为：0.06×5=0.3，
∴A市汽车价格区间购买意愿的中位数为：
20+$\frac{0.5-0.4}{0.3}×5$=$\frac{65}{3}$．
（Ⅲ）按分层抽样的方法在数据区间[10，15）和[20，25）上接受调查的市民中选取6人参加座谈，
则在数据区间[10，15）上选取：6×$\frac{0.03}{0.03+0.06}$=2人，[20，25）上选取：6×$\frac{0.06}{0.03+0.06}$=4人，
从这6人中随机选取2人作为主要发言人，
基本事件总数n=${C}_{6}^{2}=15$，
在[10，15）的市民中至少有一人被选中的对立事件是选中的2人都在[20，25）内，
∴在[10，15）的市民中至少有一人被选中的概率p=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．

点评本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查分层抽样的应用，考查中位数的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．