Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2+x）=-f（x），且当x∈[0，1]时f（x）=-x²+1，则方程f（x）=k，k∈[0，1）在[-1，5]的所有实根之和为（　　）

• A、0
• B、2
• C、4
• D、8

Answer 1

考点：函数的周期性,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x+2）=-f（x），可知f（x）是周期为4的周期函数． 再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=-x²+1，可得函数在[-1，5]上的解析式．利用数形结合即可得到方程f（x）=k，k∈[0，1）在[-1，5]的所有实根之和．

解答： 解：∵对任意的x∈R，都有f（2+x）=-f（x），
∴f（4+x）=f（x），
故f（x）是周期为4的周期函数．
∵函数f（x）是偶函数，
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=-x²+1，
即x∈[-1，1]时，f（x）=-x²+1，对称轴为x=0，
当1≤x≤3时，-1≤x-2≤1，
∵f（2+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2），
此时f（x）=-f（x-2）=-[-（x-2）²+1]=（x-2）²-1．当3≤x≤5时，-1≤x-4≤1，
此时f（x）=f（x-4）=-（x-4）²+1．
作出函数f（x）在[-1，5]的图象如图：
由图象可知当1≤x≤3时，对称轴为x=2，
当3≤x≤5时，对称轴为x=4，
则当k∈[0，1），函数f（x）与y=k，有4个交点，
它们分别关于x=0，x=4对称，
设对称的交点的横坐标分别为x₁，x₂，x₅，x₆，
则x₁+x₂=0，x₅+x₆=2×4=8，
∴方程f（x）=k，k∈[0，1）在[-1，5]的所有实根之和为0+8=8，
故选：D

点评：本题主要考查方程根的个数的判断，根据条件求出函数的周期性，利用函数函数的零点与方程的根的关系是解决本题的关键，体现了转化、数形结合的数学思想．