Question

已知函数f（x）=

ex+a

ex-a

（a∈R）．
（1）当a≥0时，根据a的不同取值讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
（2）当a=-1时，如对任意的t∈R，不等式f（t²-2t+1）+f（-k-2t²）≤0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）讨论a=0，a＞0，函数的奇偶性，注意函数的定义域是否关于原点对称；
（2）首先判断函数f（x）的奇偶性和单调性，不等式f（t²-2t+1）+f（-k-2t²）≤0
即为f（t²-2t+1）≤-f（-k-2t²）=f（k+2t²），再由单调性和二次函数的值域，即可得到k的范围．

解答： 解：（1）f（x）=

ex+a

ex-a

当a=0时，f（x）=1，则为偶函数；
当a＞0时，e^x≠a，则x≠lna，即f（x）的定义域不关于原点对称，
则为非奇非偶函数；
（2）f（x）=

ex-1

ex+1

，定义域R，f（-x）=

e-x-1

e-x+1

=-f（x），
则为奇函数，又f（x）=1-

2

ex+1

，由于e^x为增，则f（x）也为增．
不等式f（t²-2t+1）+f（-k-2t²）≤0
即为f（t²-2t+1）≤-f（-k-2t²）=f（k+2t²），
即有t²-2t+1≤k+2t²，即k≥-t²-2t+1，
由于-t²-2t+1=-（t+1）²+2≤2，
则有k≥2．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性及运用：解不等式，考查二次函数的最值，属于中档题．