Question

3．数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）计算a₁、a₂、a₃，并猜想a_n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系式，通过n=1，2，3求解a₁、a₂、a₃，猜想a_n的通项公式；
（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2-a₁，∴a₁=1；
当n=2时，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂，∴a₂=$\frac{3}{2}$；
当n=3时，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃，∴a₃=$\frac{7}{4}$．
由此猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*）
（2）证明：①当n=1时，a₁=1结论成立，
②假设n=k（k≥1，且k∈N^*）时结论成立，
即a_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$，
当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1，∴2a_k+1=2+a_k
∴a_k+1=$\frac{2+ak}{2}$=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k}}$，
∴当n=k+1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N^*，a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$成立

点评 本题考查数列的应用，数学归纳法的证明，考查计算能力．