Question

14．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的两个相邻的对称中心分别为（${\frac{π}{8}$，0），（${\frac{5π}{8}$，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及其对称轴方程；
（Ⅱ）利用五点法画出函数f（x）在[$\frac{π}{8}$，$\frac{9π}{8}}$]上的简图．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可求周期T，利用周期公式可求ω，由$f（\frac{π}{8}）=sin（{\frac{π}{4}+φ}）=0$，结合范围-π＜φ＜0，可求φ，从而可求f（x）的解析式，由$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$可解得f（x）对称轴方程．
（Ⅱ）分别求出对应的x值和y值列表，然后描点，再用平滑曲线连接得函数图象．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的两个相邻的对称中心分别为$（{\frac{π}{8}，0}）$，$（{\frac{5π}{8}，0}）$，
∴${T}=\frac{4π}{8}×2=\frac{π}{2}×2=\frac{2π}{2}=π$，
∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
∵$f（\frac{π}{8}）=sin（{\frac{π}{4}+φ}）=0$，
∴$\frac{π}{4}+φ=kπ，k∈Z$，
∴$φ=kπ-\frac{π}{4}，k∈Z$，
∵-π＜φ＜0，
∴$φ=-\frac{π}{4}$，
∴$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{4}}）$．…（4分）
由$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，得$x=\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
所以f（x）对称轴方程为$x=\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，…（6分）
（Ⅱ）列表：

x	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	$\frac{9π}{8}$
$2x-\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）	0	1	0	-1	0

…（8分）
作图：

…（12分）

点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的有关概念，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查利用五点作图法作函数的图象，属于基础题．