Question

9．已知椭圆E的方程：$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$，P为椭圆上的一点（点P在第三象限上），圆P 以点P为圆心，且过椭圆的左顶点M与点C（-2，0），直线MP交圆P与另一点N．
（Ⅰ）求圆P的标准方程；
（Ⅱ）若点A在椭圆E上，求使得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取得最小值的点A的坐标；
（Ⅲ）若过椭圆的右顶点的直线l上存在点Q，使∠MQN为钝角，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点P（m，n），利用$m=\frac{-10+（-2）}{2}=-6$，以及椭圆方程求出m，n，然后求出半径，即可求解圆的方程．
（Ⅱ）由题意求出N的坐标，设A（x，y），表示出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$，求出最小值时点A的坐标．
（ III）设直线l：y=k（x-10），利用直线与圆相交，圆心P到直线l的距离小于半径，列出不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）椭圆E的方程：$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$，得M（-10，0），C（-2，0）…（1分）
设点P（m，n），则有$m=\frac{-10+（-2）}{2}=-6$，
又：$\frac{m^2}{100}+\frac{n^2}{25}=1$，∴n=-4，即P（-6，-4），…（2分）
所以$r=PM=4\sqrt{2}$---------------------------------------------------（3分）
所以圆P的标准方程为（x+6）²+（y+4）²=32----------------------------（4分）
（Ⅱ）∵P为MN的中点，可得N（-2，-8）
设A（x，y），∴$\overrightarrow{AM}=（{-10-x，-y}），\overrightarrow{AN}=（{-2-x，-8-y}）$，∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{-10-x}）（{-2-x}）+（{-y}）（{-8-y}）={x^2}+12x+20+{y^2}+8y$---------（9分）∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}={（{x+6}）^2}+{（{y+4}）^2}-32≥-32$，
得x=-6，y=-4时，∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$最小---------------------------------（7分）
经检验，点A在椭圆$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$上∴A（-6，-4）--------------------------（8分）
（ III）设直线l：y=k（x-10），即直线与圆相交------------------------------（9分）
所以圆心P到直线l的距离$d=\frac{{|{-6k+4-10k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜4\sqrt{2}$--------------------------（10分）
得$\frac{{|{1-4k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜\sqrt{2}$
得$\frac{{4-\sqrt{30}}}{14}＜k＜\frac{{4+\sqrt{30}}}{14}$--------------------------（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的标准方程的综合应用，圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．