Question

设抛物线C₁：y²=4x的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率为

1

2

的椭圆记作C₂．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线L经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁、A₂两点，与椭圆C₂交于B₁、B₂两点，当以B₁B₂为直径的圆经过F₁时，求|A₁A₂|的长；
（3）若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作⊙N，使得⊙M与⊙N恒相切，若存在，求出⊙N的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆C₂的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题意得

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当直线l与x轴垂直时，B1(1，

3

2

)，B2(1，-

3

2

)，不满足条件，当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A₁A₂|．
（3）存在定圆N，使得M与N恒相切，由椭圆定义知|MF₁|+|MF₂|=2a=4，由此得到两圆相内切

解答： 解：（1）∵抛物线C₁：y²=4x的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂，
以F₁、F₂为焦点，离心率为

1

2

的椭圆记作C₂，
∴椭圆C₂的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），
设椭圆C₂的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由题意得

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=1，b=

3

，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）当直线l与x轴垂直时，B1(1，

3

2

)，B2(1，-

3

2

)，
又F₁（-1，0），此时

B1F1

•

B2F1

≠0，
∴以B₁B₂为直径的圆不经过F₁，不满足条件，
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，即（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵焦点在椭圆内部，∴恒有两个交点，
设B₁（x₁，y₁），B₂（x₂，y₂），则x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∵以B₁B₂为直径的圆经过F₁，∴

B1F1

•

B2F1

=0，又F₁（-1，0），
∴（-1-x₁）•（-1-x₂）+y₁y₂=0，
∴(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0，
∴（1+k²）•

4k2-12

3+4k2

+（1-k²）•（-

8k2

3+4k2

）+1+k²=0，
解得k²=

9

7

，
由

y2=4x y=k(x-1)

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵直线l与抛物线有两个交点，∴k≠0，
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
则x₃+x₄=

2k2+4

k2

=2+

4

k2

，x₃x₄=1，
∴|A₁A₂|=x₃+x₄+p=2+

4

k2

+2=

64

9

．
（3）存在定圆N，使得M与N恒相切，
定圆N的方程为：（x+1）²+y²=16，圆心是左焦点F（-1，0），
由椭圆定义知|MF₁|+|MF₂|=2a=4，
∴|MF₁|=4-|MF₂|，
∴两圆相内切．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查弦长的求法，考查使得⊙M与⊙N恒相切的⊙N的方程是否存在的判断与求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式的合理运用．