Question

已知函数，．

（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若曲线在处的切线平行于直线，求证：

对，；

（3）设函数，试讨论函数的零点个数．

Answer 1

（1）由题意，在上恒成立，

即在上恒成立．

设，所以，

所以，即．

（2）由，得．

由题意，，即，所以．

所以．

不等式即为．

由，知函数在处取最小值为，

设，因为，所以，

当且仅当时取“=”，即当时，的最大值为，

因为，所以，即原不等式成立．     

（注：不等式即为，

设，证明对成立，证明略）

（3），

．

①当时，由于，所以，所以在上递减，

由，，所以函数在上的零点个数1；

②当时，，

当，即时，当时，，所以在上递增，

因为，，

所以当时，函数在上的零点个数0；

当时，函数在上的零点个数1．

当，即时，，所以在上递减，

因为，，

所以当，即时，函数在上的零点个数0；

当，即时，函数在上的零点个数1．

当，即时，

满足时，；时，，

即函数在上递减，在上递增，

因为，，

而，

设，则，且，

由，知时，，时，，

即在上为增函数，在上为减函数，

因为，，

所以当时，，即，

所以当时，函数在上的零点个数0．

综上所述，当时，函数在上的零点个数0；

当或时，函数在上的零点个数1．