Question

8．抛物线y²=x与直线x-2y-3=0的两个交点分别为P、Q，点M在抛物线上从P向Q运动（点M不同于点P、Q），
（Ⅰ）求由抛物线y²=x与直线x-2y-3=0所围成的封闭图形面积；
（Ⅱ）求使△MPQ的面积为最大时M点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=x\\ x-2y-3=0\end{array}\right.$得抛物线与直线的交点为P，Q，根据定积分的即可求出相对应的面积，方法一，选取积分变量为x，方法二，选取积分变量为y
（Ⅱ）设点M的坐标为（a，b），要使△MPQ的面积最大即使点M到直线x-2y-3=0的距离最大，故过点M的切线与直线x-2y-3=0平行，利用导数求出切线的斜率，即可求出a的值，问题得以解决．

解答 解  （Ⅰ）方法一  由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=x\\ x-2y-3=0\end{array}\right.$得抛物线与直线的交点为P（1，-1），Q（9，3）（如图）．
∴S=${∫}_{0}^{1}$[$\sqrt{x}$-（-$\sqrt{x}$）]dx+${∫}_{1}^{9}$（$\sqrt{x}$-$\frac{x-3}{2}$）dx=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx+${∫}_{1}^{9}$（$\sqrt{x}$-$\frac{x}{2}$+$\frac{3}{2}$）dx
=$\frac{4}{3}$$\sqrt{x^3}$|${\;}_{0}^{1}$+（$\frac{2}{3}$x${\;}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{x^2}{4}$+$\frac{3}{2}x$|${\;}_{1}^{9}$=$\frac{4}{3}$+$\frac{28}{3}$=$\frac{32}{3}$．
方法二  若选取积分变量为y，则两个函数分别为x=y²，x=2y+3．由方法一知上限为3，下限为-1．
∴S=${∫}_{-1}^{3}$（2y+3-y²）dy=（y²+3y-$\frac{1}{3}$y³）|${\;}_{-1}^{3}$=（9+9-9）-（1-3+$\frac{1}{3}$）=$\frac{32}{3}$．
（Ⅱ）设点M的坐标为（a，b），要使△MPQ的面积最大即使点M到直线x-2y-3=0的距离最大，
故过点M的切线与直线x-2y-3=0平行，
故过点M的切线斜率为k=$\frac{1}{2}$，
∵y²=x，
∴y=$\sqrt{x}$
令y=$\sqrt{x}$，
∴y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
∴k=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=1，
∴b=1，
∴M点的坐标为（1，1）时，△PAB的面积最大．

点评 本题考查了定积分的有关计算和抛物线的简单性质，以及导数的几何意义，属于中档题．