Question

已知直线x=1是函数f（x）的图象的一条对称轴，对任意x∈R，f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x³，求f（x）在R上的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，求出f（x）是周期为4的函数，再求出函数f（x）在x∈[1，3]时的解析式，
即得f（x）在一个周期内的解析式，从而得出函数f（x）在R上的解析式．

解答： 解：∵x=1是f（x）的图象的一条对称轴，∴f（x+2）=f（-x）；
又∵f（x+2）=-f（x），∴f（x）=-f（x+2）=-f（-x），
即f（-x）=-f（x）；
∴f（x）是奇函数；
又∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴函数的周期是T=4；
当x∈[1，3]时，x-2∈[-1，1]，
又∵当-1≤x≤1时，f（x）=x³，
∴f（x-2）=（x-2）³，
∴f（x）=f[（x-2）+2]=-f（x-2）=-（x-2）³，
∴当x∈[1，3]时，f（x）=-（x-2）³；
∴当x∈[-1，3]时，f（x）=

x3，x∈[-1，1) -(x-2)3，x∈[1，3]

；
又∵函数f（x）的周期为4，
∴当x∈R时，f（x）=

(x-4k)3，x∈[-1+4k，1+4k) -(x-2-4k)3，x∈[1+4k，3+4k]

，k∈Z．

点评：本题考查了函数的周期性与奇偶性的应用问题，也考查了分段函数的解析式的问题以及函数的对称性问题，是综合性题目．