Question

18．已知函数f（x）=axlnx+b，g（x）=x²+kx+3，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）若f（x）在（b，m）上有最小值，求m的取值范围；
（2）当x∈[$\frac{1}{e}$，e]时，若关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，求出m的范围即可；
（2）问题等价于不等式k≥-$\frac{2xlnx{+x}^{2}+3}{x}$在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上有解，设h（x）=-$\frac{2xlnx{+x}^{2}+3}{x}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=a（lnx+1），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{f′（1）=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
故f′（x）=lnx+1，
当f′（x）＞0，即x＞$\frac{1}{e}$时，f（x）递增，
当f′（x）＜0，即0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f（x）递减，
∵f（x）在（0，m）上有最小值，
∴m的范围是（$\frac{1}{e}$，+∞）；
（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0在x∈[$\frac{1}{e}$，e]有解
等价于不等式k≥-$\frac{2xlnx{+x}^{2}+3}{x}$在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上有解，
设h（x）=-$\frac{2xlnx{+x}^{2}+3}{x}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，h′（x）=-$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$，
当h′（x）＞0即$\frac{1}{e}$＜x＜1时，h（x）递增，当h′（x）＜0，即1＜x＜e时，h（x）递减，
又h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{{3e}^{2}-2e+1}{e}$，h（e）=-$\frac{{e}^{2}+2e+3}{e}$，
∴h（$\frac{1}{e}$）-h（e）＜0，
故h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{{3e}^{2}-2e+1}{e}$，
∴k≥-$\frac{{3e}^{2}-2e+1}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．