Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-2，4），$\overrightarrow{b}$=（-1，-2）．
（1）求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积与夹角公式，即可求出两向量夹角的余弦值；
（2）根据平面向量的坐标运算与两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（-2，4），$\overrightarrow{b}$=（-1，-2），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-2×（-1）+4×（-2）=-6，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{（-2）}^{2}{+4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（-1）}^{2}{+（-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-6}{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=-$\frac{3}{5}$；
（2）∵$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$=（-2，4）-（-λ，-2λ）=（λ-2，2λ+4），
2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-4，8）+（-1，-2）=（-5，6）；
又向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$-2λ$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=-5（λ-2）+6（2λ+4）=0，
解得λ=-$\frac{34}{7}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算与夹角公式的应用问题，是基础题目．