Question

2013年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：

	混凝土耐久性达标	混凝土耐久性不达标	总计
使用淡化海砂	25	t	30
使用未经淡化海砂	s	15	30
总计	40	20	60

（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？
（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？
参考数据：

P（k2≥k）	0.10	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

参考公式：k²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

考点：独立性检验的应用

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）利用2×2列联表中的数据，计算出s，t，k²，对性别与喜爱运动有关的程度进行判断，
（Ⅱ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件共有15种结果，设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A，它的对立事件

.

A

为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，根据概率公式得到对立事件的概率，最后根据对立事件的概率公式得出结果．

解答： 解：（Ⅰ）s=40-25=15，t=30-25=5                      …（2分）
假设：是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关，由已知数据可求得：
K²=

60×(25×15-15×5)2

30×30×40×20

≈7.5＞6.635
因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．…（6分）
（Ⅱ）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为

25

30

×6=5，“混凝土耐久性不达标”的为1．
“混凝土耐久性达标”的记为A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，“混凝土耐久性不达标”的记为B．
从这6个样本中任取2个，共有15可能，
设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A，
它的对立事件

.

A

为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含（A₁，B），（A₂，B），
（A₃，B），（A₄，B），（A₅，B）共5种可能，
所以P（A）=1-P（

.

A

）=

2

3

．
则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是

2

3

．…（12分）

点评：本题把概率的求法，列联表，独立性检验等知识有机的结合在一起，是一道综合性题目，但题目难度不大，符合新课标对本部分的要求，是道好题．