Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-

1

2

（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）已知a，b，c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，其中A为锐角，a=2

3

，c=4且f（A）=1，求b及△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-

π

6

），由周期公式即可求解．
（2）由f(A)=sin(2A-

π

6

)=1，又A为锐角，即可解得A，从而由正弦定理解得C=

π

2

，可得△ABC为Rt△，即可求得b，由三角形面积公式即可得解．

解答： 解：（1）f(x)=sin2x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

)…（4分）
∴周期T=

2π

2

=π…（5分）
（2）f(A)=sin(2A-

π

6

)=1…（6分）
∴2A-

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z
∴A=

π

3

+kπ，k∈Z
∵A为锐角
∴A=

π

3

…（8分）
又由

a

sinA

=

c

sinC

，得

2 3

sin π 3

=

4

sinC

…（9分）
解得C=

π

2

…（10分）
∴△ABC为Rt△
∴b=

c2-a2

=2
∴S△ABC=

1

2

ab=2

3

…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，正弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．