Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=

1

2

AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；
（2）求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，可证AD∥EF，又EF⊆平面EFB AD?平面EFB，可证AD∥平面EFB．
（2）设点C到平面ABD的距离为h，由于可证AD⊥BD，可得S△ADB=2

3

，又三棱锥B-ACD的高BC=2

2

，S_△ACD=2，由

1

3

×2

2

h=

1

3

×2×2

2

即可解得点C到平面ABD的距离．

解答： （1）取CD的中点F，连结EF，BF，
在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，
∴EF为△ACD的中位线
∴AD∥EF，
EF⊆平面EFB，AD?平面EFB
∴AD∥平面EFB．

（2）设点C到平面ABD的距离为h，
∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ADC，
∴BC⊥AD，而AD⊥DC•
∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•
∴S△ADB=2

3

•
∴三棱锥B-ACD的高BC=2

2

，S_△ACD=2，
∴

1

3

×2

2

h=

1

3

×2×2

2

∴可解得：h=2．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．