Question

设一个正整数n可以表示为n=a₀2^k+a₁2^k-1+…+a_k2⁰（k∈N），其中a₀=1，a_i=0或1（1≤i≤k且i∈N），a_i中为1的总个数记为f（n），例如f（1）=1，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=1，则2^f（1）+2^f（2）+2^f（3）+…+2^f（31）=（　　）

• A、121
• B、243
• C、728
• D、729

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：综合题,二项式定理

分析：31=1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，则f（31）=5，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前5项和，计算可得答案．

解答： 解：根据题意，31=1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，则f（31）=5．
列表如右：
由表格可得到如下规律：正整数k从2ⁿ到2ⁿ⁺¹-1，
则∑2^f（k）=3^n-1．
∴2^f（1）+2^f（2）+2^f（3）+…+2^f（31）=3⁰+3¹+3²+3³+3⁴=121，
故选：A

点评：本题主要考查二项式系数的性质，解题的关键在于分析题意，透彻理解f（n）的含义，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．