Question

【题目】已知正边长为3，点M，N分别是AB，AC边上的点，，如图1所示.将沿MN折起到的位置，使线段PC长为连接PB，如图2所示.

（1）求证：平面平面BCNM；

（2）若点D在线段BC上，且，求平面PDM和平面PDC所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（Ⅰ）推导出AN⊥MN，即PN⊥MN，PN⊥NC，从而PN⊥平面BCNM，由此能证明平面PMN⊥平面BCNM．

（Ⅱ）以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣PD﹣C的余弦值．

解：（I）证明：依题意，在中，，，，

由余弦定理，，

解得

根据勾股定理得，

∴，即，

在图2中，，，，

∴，

∴，

∵，

∴平面BCNM，

∵平面PMN，

∴平面平面.

（2）解：以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，

，，

设平面MPD的一个法向量），

则，取，

得，

设平面PDC的法向量，

则，

取，得，

设所求角为

∴

.