Question

1．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数     N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n
正方形数      N（n，4）=n²
五边形数      $N（{n，5}）=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n$
六边形数      N（n，6）=2n²-n
…
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算 N（20，32）=5720．

Answer 1

分析 观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n，把n=20，k=32代入可得答案．

解答 解：三角形数     N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n=$\frac{3-2}{2}$n²+$\frac{4-3}{2}$n，
正方形数      N（n，4）=$\frac{4-2}{2}$n²+$\frac{4-4}{2}$n，
五边形数      $N（{n，5}）=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n$=$\frac{5-2}{2}$n²+$\frac{4-5}{2}$n，
六边形数      N（n，6）=2n²-n=$\frac{6-2}{2}$n²+$\frac{4-6}{2}$n，
…
由归纳推理可得：
N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n，
故N（20，32）═$\frac{32-2}{2}×2{0}^{2}+\frac{4-32}{2}×20$=5720．
故答案为：5720

点评 本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，是中档题．