Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为．
（1）建立适当的坐标系，并写出点A，B，A₁，C₁的坐标；
（2）求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）以点A为坐标原点O，以AB所成直线为Oy轴，以AA₁所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB₁A₁垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系，可求出A，B，A₁，C₁的坐标；
（2）取A₁B₁的中点M，易证AC₁与AM所成的角就是AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角，求出与的坐标，利用向量的夹角公式求出此角即可．
解答：解：①如图，以点A为坐标原点O，以AB所成直线为Oy轴，
以AA₁所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB₁A₁垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系．
由已知得A（0，0，0），B（0，a，0），，．
②坐标系如上，取A₁B₁的中点M，于是有，
连AM，MC₁有=，
且=（0，a，0），=，
由•=0，•=0，
所以，MC₁⊥面ABB₁A₁，
∴AC₁与AM所成的角就是AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角．
∵=，=，
∴•=，==，=，
∴=，
所以，与所成的角，即AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角为30°．
点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．