Question

1．已知等差数列{a_n}中，a₁=3，a₂=6；设${b_n}={2^{a_n}}$，数列{b_n}的前n项和为${S_n}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，t，使得$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，若存在，求出n，t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=3，a₂=6，可得d=3．利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）由（I）可得：${b_n}={2^{a_n}}$=8ⁿ．可得S_n=$\frac{8}{7}（{8}^{n}-1）$．假设存在正整数n，t，使得$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，可得$\frac{{8}^{n}（8-7t）-8}{{8}^{n+1}（8-7t）-8}$＜$\frac{1}{16}$，对n，t分类讨论，利用不等式的性质、指数幂的运算性质化简整理即可判断出结论．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=3，a₂=6，∴d=6-3=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
（II）由（I）可得：${b_n}={2^{a_n}}$=2³ⁿ=8ⁿ．
∴S_n=$\frac{8（{8}^{n}-1）}{8-1}$=$\frac{8}{7}（{8}^{n}-1）$．
假设存在正整数n，t，使得$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，
∴$\frac{{8}^{n}（8-7t）-8}{{8}^{n+1}（8-7t）-8}$＜$\frac{1}{16}$，
当t=1时，化为：$\frac{{8}^{n}-8}{{8}^{n+1}-8}$＜$\frac{1}{16}$，当n=1时，0＜$\frac{1}{16}$成立．
当n≥2时，8ⁿ⁺¹-8ⁿ＜1不成立．
当t≥2时，化为：15＜-8ⁿ（7t-8），不成立．
综上可得：只有t=n=1时成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、指数幂的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．