题目内容

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点为F1，F2，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过F2的直线l与椭圆相交于A、B两点，若△AF1B的周长为8$\sqrt{3}$，则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

分析 由已知得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，4a=8$\sqrt{3}$，由此能求出椭圆C的标准方程．

解答 解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点为F1，F2，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵过F2的直线l与椭圆相交于A、B两点，△AF1B的周长为8$\sqrt{3}$，
∴4a=8$\sqrt{3}$，解得a=2$\sqrt{3}$，∴c=2，
∴b2=12-4=8，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

点评 本题考查椭圆的简单性质的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．

练习册系列答案
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