Question

16．已知点P（2，-1），求：
（1）过点P且与直线2x-y+3=0平行的直线方程；
（2）过点P且与原点距离为2的直线方程；
（3）过点P且与原点距离最大的直线方程，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）设与直线2x-y+3=0平行的直线方程为2x-y+m=0，把点P（2，-1）代入可得：4+1+m=0，解得m即可得出．
（2）当斜率不存在时，方程x=2适合题意．当斜率存在时，设直线方程为y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，利用点到直线的距离公式即可得出．
（3）过点P且与原点距离最大的直线方程应为过点P且OP垂直的直线，${k_{OP}}=-\frac{1}{2}$，则所求直线的斜率为2，利用点斜式即可的．

解答 解：（1）设与直线2x-y+3=0平行的直线方程为2x-y+m=0，
把点P（2，-1）代入可得：4+1+m=0，解得m=-5．
直线方程为2x-y-5=0．-----------（4分）
（2）当斜率不存在时，方程x=2适合题意．
当斜率存在时，设直线方程为y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，
则$\frac{{|{2k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$．
∴直线方程为3x-4y-10=0．
∴所求直线方程为x=2或3x-4y-10=0．-----------（8分）
（3）过点P且与原点距离最大的直线方程应为过点P且OP垂直的直线，${k_{OP}}=-\frac{1}{2}$，则所求直线的斜率为2
∴直线方程为2x-y-5=0，最大距离为$d=\sqrt{5}$．-----------（12分）

点评 本题考查了相互垂直平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．