Question

（本小题满分16分）己知函数

（1）若 ，求函数 的单调递减区间;

（2）若关于x的不等式 恒成立，求整数 a的最小值:

（3）若 ，正实数 满足 ，证明:

Answer 1

（1），（2）2，（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，注意首先明确定义域，正确求导：因为，所以，由，得 ，（2）不等式恒成立问题一般利用变量分离法：问题等价于在上恒成立．再利用导数求函数最大值，令根为，在上是增函数；在上是减函数．

，所以整数的最小值为2．（3）转化为关于的不等式即可：由，即

从而，利用导数求左边函数最小值1，所以，解得

试题解析：（1）因为，所以， 1分

此时，

2分

由，得，

又，所以．

所以的单调减区间为． 4分

（2）方法一：令，

所以．

当时，因为，所以．

所以在上是递增函数，

又因为，

所以关于的不等式不能恒成立． 6分

当时，，

令，得．

所以当时，；当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数．

故函数的最大值为．

8分

令，

因为，，又因为在是减函数．

所以当时，．

所以整数的最小值为2． 10分

方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，

问题等价于在上恒成立．

令，只要． 6分

因为，令，得．

设，因为，所以在上单调递减，

不妨设的根为．

当时，；当时，，

所以在上是增函数；在上是减函数．

所以． 8分

因为，

所以，此时，即．

所以，即整数的最小值为2． 10分

（3）当时，

由，即

从而 13分

令，则由得，

可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

所以， 15分

所以，

因此成立． 16分

考点：利用导数求函数单调区间、函数最值