Question

（本小题满分14分）三棱柱的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正切值．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查三视图、线线垂直、线面垂直、空间向量法、补体法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用线面垂直的性质，得到，再由，利用线面垂直的判定，得到平面，利用线面垂直的性质得，再由、，利用线面垂直的判定，得到平面，

平面，平面；第二问，利用空间向量法，建立空间直角坐标系，得到和向量的坐标，计算出平面和平面的法向量，再利用夹角公式得到，最后再计算.

试题解析：由三视图可知，几何体为直三棱柱—，侧面为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形， 2分

（1）直三棱柱—中，平面，平面，

，，D为AC的中点，，

又面，面，且，

平面，又面，① ..6分

又，

又面，面，且，

面，面，

在正方形中，

又面，面，且，

面，又面，② ..8分

由①②，又面，面，且，

面. 9分

（2）解法一（空间向量法）以为原点建系，易得

设平面的法向量由，

得令，得 ..12分

又平面的法向量设二面角的平面角为，

所以 ..14分

解法二：

所求二面角与二面角互余，

取中点，有⊥平面，过作垂线，垂足为，

 

所以二面角的平面角是 11分

，

因为二面角与二面角互余，

所以二面角的正切值为； ..14分

解法三（补形）如图补成正方体，易得为二面角的平面角，

..14分

考点：三视图、线线垂直、线面垂直、空间向量法、补体法.