Question

9．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且F₂为抛物线C₂：y²=2px的焦点，C₂的准线l被C₁和圆x²+y²=a²截得的弦长分别为2$\sqrt{2}$和4，求C₁和C₂的方程．

Answer 1

分析 推导出C₂的准线l的方程为x=-c，$\frac{p}{2}=c$，由C₂的准线l被C₁和圆x²+y²=a²截得的弦长分别为2$\sqrt{2}$和4，列出方程组，求出a，b，c，由此能求出C₁和C₂的方程．

解答 解：如图，∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，
且F₂为抛物线C₂：y²=2px的焦点，
∴C₂的准线l的方程为x=-c，OC=c，OD=a，CD=b，$\frac{p}{2}=c$，
∵C₂的准线l被C₁和圆x²+y²=a²截得的弦长分别为2$\sqrt{2}$和4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{BC=2\sqrt{2}=\frac{2{b}^{2}}{a}}\\{AD=4=2b}\end{array}\right.$，解得b=2，a=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{8-4}$=2，p=4，
∴C₁的方程为$\frac{{{x}^{2}}_{\;}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
C₁的方程为y²=8x．

点评 本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，考查椭圆、抛物线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．