Question

19．（Ⅰ）求下列各函数的导数：
（1）$y=x\sqrt{x}$；
（2）$y=\frac{x^2}{sinx}$；
（Ⅱ）过原点O作函数f（x）=lnx的切线，求该切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别运用幂函数和函数的除法的求导法则，计算即可得到所求导数；
（Ⅱ）设切点为T（x₀，lnx₀），求出函数的导数，可得切线的斜率，求出切点，即可得到所求切线的方程．

解答 解：（Ⅰ）（1）$y=x\sqrt{x}={x^{\frac{3}{2}}}$，∴y′=$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{3}{2}-1}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{x}$；
（2）$y'=\frac{{（{x^2}）'sinx-{x^2}（sinx）'}}{{{{sin}^2}x}}=\frac{{2xsinx-{x^2}cosx}}{{{{sin}^2}x}}$；
（Ⅱ）设切点为T（x₀，lnx₀），
∵$f'（x）=\frac{1}{x}$，${k_{切线}}=f'（{x_0}）=\frac{1}{x_0}={k_{OT}}=\frac{{ln{x_0}}}{x_0}⇒ln{x_0}=1$，解x₀=e，
所以切点为T（e，1），切线的斜率为$\frac{1}{e}$，
故切线方程为$y=\frac{1}{e}x$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．