Question

10．关于x的方程（2017-x）（1999+x）=2016恰有两个根为x₁、x₂，且x₁、x₂分别满足3^x₁=a-3x₁和log₃（x₂-1）³=a-3x₂，则x₁+x₂+a=61．

Answer 1

分析 利用韦达定理求出x₁+x₂=16．利用互为反函数的性质求出a，即可得出结论．

解答 解：方程（2017-x）（1999+x）=2016可化为-x²+16x+2017×1999-2016=0，
∴x₁+x₂=16．
∵x₁满足3^x₁=a-3x₁，x₂满足log₃（x₂-1）³=a-3x₂，
∴${3}^{{x}_{1}-1}$=$\frac{a}{3}$-1-（x₁-1），log₃（x₂-1）=$\frac{a}{3}$-1-（x₂-1）．
∴x₁-1+x₂-1=$\frac{a}{3}$-1，
∴a=45，
∴x₁+x₂+a=16+45=61．
故答案为61．

点评 本题考查了指数函数与对数函数化为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．