Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是

π

2

，若将f（x）的图象先向右平移

π

6

个单位，再向上平移2个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x∈[0，

π

3

]，不等式f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）由函数的周期为

2π

ω

=2×

π

2

，求得ω的值．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得φ的值，由奇函数的性质可得b=2，从而求得函数的解析式．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（3）若对任意x∈[0，

π

3

]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）∈[-2，-1]．令f（x）=t，则t∈[-2，-1]，不等式即 t²-（2+m）t+2+m≤0．令g（t）=t²-（2+m）t+2+m，由

g(-2)=10+3m≤0 g(-1)=5+2m≤0

，求得m的范围．

解答： 解：（1）由题意可得，函数的周期为

2π

ω

=2×

π

2

，求得ω=2．
将f（x）的图象先向右平移

π

6

个单位，再向上平移2个单位，所得函数g（x）=sin[2（x-

π

6

）+φ]+2-b=sin（2x+φ-

π

3

）+2-b 为奇函数，
∴φ-

π

3

=kπ，k∈z，且2-b=0，结合0＜φ＜π解得 φ=

π

3

，b=2，
故函数的解析式为 f（x）=sin（2x+

π

3

）-2．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
故函数的增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（3）若对任意x∈[0，

π

3

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，sin（2x+

π

3

）∈[0，1]，f（x）∈[-2，-1]．
令sin（2x+

π

3

）-2=t，则t∈[-2，-1]，不等式f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0 即 t²-（2+m）t+2+m≤0，
令g（t）=t²-（2+m）t+2+m，∴

g(-2)=10+3m≤0 g(-1)=5+2m≤0

，解得m≤-

10

3

，故m的范围是（-∞，-

10

3

]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．