Question

5．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}+1$的值域为（-∞，-1]∪[3，+∞），则a=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 可以判断a=0和a＜0时，f（x）的值域都为R，不满足条件，从而可得出a＞0，然后可根据基本不等式求出f（x）的值域，对照已知的f（x）的值域便可求出a的值．

解答 解：①若a=0，f（x）=x+1的值域为R，不合题意；
②若a＜0，则f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上都是增函数，∴f（x）的值域为R，不合题意；
③若a＞0，则：x＜0时，$f（x）=x+\frac{a}{x}+1=-[（-x）+\frac{a}{-x}]+1≤-2\sqrt{a}+1$；
x＞0时，f（x）$≥2\sqrt{a}+1$；
∴f（x）的值域为$（-∞，-2\sqrt{a}+1]∪[2\sqrt{a}+1，+∞）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{a}+1=-1}\\{2\sqrt{a}+1=3}\end{array}\right.$；
解得a=1．
故选B．

点评 考查函数值域的定义及求法，清楚一次函数的值域，根据函数单调性求函数值域的方法，以及基本不等式的应用．