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17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．

分析 利用向量的运算律将已知等式展开，利用向量的数量积公式及向量模的平方等于向量的平方，求出向量夹角的余弦，求出夹角．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|2=|$\overrightarrow{a}$|2+4|$\overrightarrow{b}$|2-4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ=4+4-4×2×1×cosθ=12，
即cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∵0°≤θ≤180°，
∴θ=120°，
故答案为：120°．

点评 本题考查向量的运算律、考查向量的数量积公式、考查向量模的平方等于向量的平方．

练习册系列答案
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