题目内容

数列{an}定义如下：a1=1，对于每个n∈N*，a4n-3，a4n-2，a4n-1构成公差为1的等差数列，而a4n-1，a4n，a4n+1构成公比为2的等比数列．
（1）求a2，a6的值以及a4n-2（n∈N*）的通项公式；
（2）若bn=（a1+a2+a3）+（a5+a6+a7）+…+（a4n-3+a4n-2+a4n-1），在数列{bn}中是否存在不同的三项，使得此三项能成为某三角形的三条边长？若能，求出这三项；若不能，请说明理由．
考点：数列与不等式的综合
专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法
分析：（1）利用4n-3，a4n-2，a4n-1构成公差为1的等差数列，而a4n-1，a4n，a4n+1构成公比为2的等比数列，求a2，a6的值以及a4n-2（n∈N*）的通项公式；
（2）由（1）知bn=
11
3
(4n-1)-5n，确定数列{bn}单调递减，再利用反证法，即可得出结论．
解答： 解：（1）a2=2，a3=3，a4=6，a5=12，a6=13．
由题意，a4n-1=a4n-2+1，a4n+1=4a4n-1，a4n+2=a4n+1+1，
∴a4n+2=4a4n-2+5，
∴a4n+2+
5
3
=4（a4n-2+
5
3
）
∴{a4n-2+
5
3
}是以
11
3
为首项，4为公比的等比数列，
∴a4n-2+
5
3
=
11
3
•4n-1，
∴a4n-2=
11
3
•4n-1-
5
3
；
（2）由（1）知，a4n-3+a4n-2+a4n-1=3a4n-2=11•4n-1-5，
∴bn=
11
3
(4n-1)-5n，
∴bn+1-bn=
11
3
(4n+1-1)-5（n+1）-
11
3
(4n-1)+5n=11×4n-5＞0，
∴数列{bn}单调递减
假设存在不同的三项bs，bt，bk（s＜t＜k），使得此三项能成为某三角形的三条边长，则k≥3，t≤k-1，s≤k-2，
且bk≤bs+bt≤bk-2+bk-1，可得33•4k-2+15k≤34
∵k≥3，∴33•4k-2+15k≥177，
∴数列{bn}中不存在不同的三项，使得此三项能成为某三角形的三条边长．
点评：本题考查数列中的新定义，考查数列的单调性，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
练习册系列答案
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n2
2
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n2
2
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1
anan+1
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（1）求数列{an}的通项公式；
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Tn
Tn+1
)•
1
Tn+1
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1
2
，求实数k的值．
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π
6
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π
2
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1
2
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