Question

已知圆C：x²+y²=1，直线l：y-kx-1=0
（1）k=1时判断圆C和直线的位置关系．
（2）若圆C上有且仅有三个点到l的距离为

1

2

，求实数k的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）k=1时，直线l：y-x-1=0，求出圆C：x²+y²=1的圆心C和半径，利用圆心C到直线y-x-1=0的距离与圆的半径的大小关系能判断圆C和直线l的位置关系．
（2）由圆C上有且仅有三个点到l的距离为

1

2

，得到圆心C（0，0）到直线l：y-kx-1=0的距离为

1

2

，由此能求出结果．

解答： 解：（1）k=1时，直线l：y-x-1=0，
圆C：x²+y²=1的圆心C（0，0），半径r=1，
圆心C（0，0）到直线y-x-1=0的距离：
d=

|-1|

2

=

2

2

＜r=1，
∴k=1时圆C和直线相交．
（2）∵圆C：x²+y²=1，直线l：y-kx-1=0，
圆C上有且仅有三个点到l的距离为

1

2

，
∴圆心C（0，0）到直线l：y-kx-1=0的距离为

1

2

，
∴

|-1|

1+k2

=

1

2

，
解得k=±

3

．
∴k=±

3

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．