Question

已知函数f（x）定义域为[0，+∞），且对任意非负实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-3，且x＞0时f（x）＜3．
（1）求f（0）；
（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并给出证明；
（3）若f（1）=1且f（x²-x）+f（8-5x）≥0，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，x=y=0直接求解f（0）即可；
（2）根据定义进行直接判定，设x₁＞x₂≥0，则f（x₁）-f（x₂）=f[x₂+（x₁-x₂）]-f（x₂）=f（x₂）+f（x₁-x₂）-f（x₂）-3=f（x₁-x₂）-3然后判断符号，即可得到函数的单调性；
（3）先根据已知条件得到f（3）=-3，再根据函数的单调性将所求不等式转化为0≤x²-6x+8≤3，从而可求出x的取值范围．

解答： 解：（1）∵对任意非负实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-3，
∴令x=0，y=0，得f（0）=2f（0）-3，
∴f（0）=3；
（2）设x₁＞x₂≥0，则f（x₁）-f（x₂）=f[x₂+（x₁-x₂）]-f（x₂）=f（x₂）+f（x₁-x₂）-f（x₂）-3=f（x₁-x₂）-3，
∵x₁-x₂＞0 且当x＞0时f（x）＜3，则f（x₁-x₂）＜3
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在定义域上单调递减，
（3）由f（x）定义域得x²-x≥0，8-5x≥0，解得 x∈（-∞，0]∪[1，

8

5

]…①
∵对任意非负实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-3，
∴f（x²-x）+f（8-5x）=f（x²-6x+8）+3≥0，
即f（x²-6x+8）≥-3，
∵f（1）=1 则f（2）=1+1-3=-1，f（3）=f（1）+f（2）-3=-3
不等式可以化为f（x²-6x+8）≥f（3），
∵f（x）在定义域上单调递减，
∴0≤x²-6x+8≤3，
解得x∈[1，2]∪[4，5]…②
综合①②可得，x取值范围是[1，

8

5

]．

点评：此题是个难题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域，解决抽象函数的问题一般应用赋值法．