Question

6．已知函数f（x）=$\frac{ln（\sqrt{3}x）}{x}$
（1）求f（x）在[1，m]（m＞1）上的最小值；
（2）若关于x的不等式f²（x）-nf（x）＞0有且只有三个整数解，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数f（x）在闭区间上的最小值即可；
（2）根据f（x）的单调性，通过讨论n的符号，解关于f（x）的不等式结合不等式解的个数，求出n的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-ln（\sqrt{3}x）}{{x}^{2}}$，令f′（x）＞0，得f（x）的递增区间为（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）；
令f′（x）＜0，得f（x）的递减区间为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞），…（2分）
∵x∈[1，m]，则当1≤m≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$e时，f（x）在[1，m]上为增函数，
f（x）的最小值为f（1）=$\frac{ln3}{2}$；
当m＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$e时，f（x）在[1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）上为增函数，
在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，m]上为减函数，又f（3）=$\frac{ln3}{2}$=f（1），
∴若$\frac{\sqrt{3}}{3}$e＜m≤3，f（x）的最小值为f（1）=$\frac{ln3}{2}$，…（4分）
若m＞3，f（x）的最小值为f（m）=$\frac{ln（\sqrt{3}m）}{m}$，
综上，当1≤m≤3时，f（x）的最小值为f（1）=$\frac{ln3}{2}$；
当m＞3，f（x）的最小值为f（m）=$\frac{ln（\sqrt{3}m）}{m}$…（6分）
（2）由（1）知，f（x）的递增区间为（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e），递减区间为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞），
且在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞）上，ln$\sqrt{3}$x＞lne=1＞0，又x＞0，则f（x）＞0，又f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=0，
∴n＜0时，由不等式f²（x）-nf（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜n，
而f（x）＞0的解集为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），整数解有无数多个，不合题意；…（8分）
n=0时，由不等式f²（x）-nf（x）＞0，得f（x）≠0，解集为（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），
整数解有无数多个，不合题意；…（10分）
n＞0时，由不等式f²（x）-nf（x）＞0，得f（x）＞n或f（x）＜0，
∵f（x）＜0的解集为（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）无整数解，
若不等式f²（x）-nf（x）＞0有且只有三个整数解，
∵f（x）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）递增，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞）递减，
而1＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$e＜2，f（1）=f（3），
所以，三个正整数为1，2，3，而f（4）=$\frac{ln4\sqrt{3}}{4}$，
综上，实数n的取值范围是[$\frac{ln4\sqrt{3}}{4}$，$\frac{ln3}{2}$）…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．