Question

15．如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为12，腰长为4$\sqrt{2}$，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分．
（1）令BF=x（0＜x＜12），试写出直线右边部分的面积y与x的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，令y=f（x）．构造函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），0＜x＜4}\\{（6-x）f（x），4＜x＜8}\end{array}\right.$．
①判断函数g（x）在（4，8）上的单调性；
②判断函数g（x）在定义域内是否具有单调性，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）可以通过分类讨论明确图形的特征，再根据图形形状求出函数的解析式；
（2）可以求出函数g（x）的解析式，①由解析式即可得到判断函数的单调性，②分别求出g（3.9）=24.395，g（4.1）=44.84，比较即可．

解答 解：（1）过点A．D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．
∵ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB=4$\sqrt{2}$cm，
∴BG=AG=DH=HC=4cm，
又∵BC=12cm，
∴AD=GH=4cm，
①当点F在BG上时，
即x∈（0，4]时，f（x）=32-$\frac{1}{2}$x²；
②当点F在GH上时，
即x∈（4，8]时，f（x）=8+4（8-x）=40-4x．
③当点F在HC上时，
即x∈（8，12）时，y=S_{五边形ABFED}=S_梯形ACD-S_三角形CEF
f（x）=$\frac{1}{2}$（12-x）²，
∴函数解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{32-\frac{1}{2}{x}^{2}，0＜x≤4}\\{40-4x，4＜x≤8}\\{\frac{1}{2}（12-x）^{2}，8＜x＜12}\end{array}\right.$，
（2）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{32-\frac{1}{2}{x}^{2}，0＜x＜4}\\{（6-x）（40-4x），4＜x＜8}\end{array}\right.$，
①由二次函数的性质可知，函数g（x）在（4，8）上是减函数．
②虽然g（x）在（0，4）和（4，8）单调递减，
但是g（3.9）=24.395，g（4.1）=44.84，
∴g（3.9）＜g（4.1）．
因此函数g（x）在定义域内不具有单调性．

点评 本题考查了函数的解析式，函数的单调性，属于中档题．