Question

已知双曲线a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一个焦点，一条渐近线方程为，其中a_n是以4为首项的正项数列，数列c_n的首项为6．
（I）求数列C_n的通项公式；
（II）若不等式对一切自然数n恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由双曲线方程得：C_n=a_n+a_n+1，由一条渐进线方程为和a_n是以4为首项的正项数列得到a_n的通项公式化简，进而推出数列C_n的通项公式；
（II）先把C_n的通项公式代入到不等式左边，错位相减得，把S代入到不等式左边得到要使不等式对一切自然数n恒成立，即要log_a（2x+1）≥0，讨论a的取值得到x的范围．
解答：解：（I）由双曲线方程得：C_n=a_n+a_n+1，又因为一条渐近线
∴
∴C_n=3•2ⁿ
（II）令S=++…+=++…+
由错位相减得
故原不等式恒成立
∴log_a（2x+1）≥0
（i）当a＞1时，2x+1≥1⇒x≥0
（ii）当
∴
点评：考查学生灵活运用等比数列的通项公式，以及掌握双曲线的简单性质，理解不等式恒成立时取到的条件，掌握对数函数的图象与性质．