Question

已知双曲线a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一个焦点(0，

cn

)，一条渐近线方程为y=

2

x，其中a_n是以4为首项的正项数列，数列c_n的首项为6．
（Ⅰ）求数列C_n的通项公式；
（Ⅱ）若不等式

1

c1

+

2

c2

+…+

n

cn

+

n

3•2n

＜

2

3

+loga(2x+1)(a＞0且a≠1)对一切自然数n恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由双曲线方程得：C_n=a_n+a_n+1，由一条渐近线方程为y=

2

x和a_n是以4为首项的正项数列得到a_n的通项公式化简，进而推出数列C_n的通项公式；
（Ⅱ）先把C_n的通项公式代入到不等式左边，错位相减得S=

2

3

-

1

3•2n-1

-

n

3•2n

，把S代入到不等式左边得到要使不等式对一切自然数n恒成立?

2

3

-

1

3•2n-1

＜

2

3

+loga(2x+1)(n∈N)，即要log_a（2x+1）≥0，讨论a的取值得到x的范围．

解答：解：（Ⅰ）由双曲线方程得：C_n=a_n+a_n+1，又因为一条渐近线y=

2

x．
∴

an

an-1

=2，∴an=4•2n+1=2n+1
∴C_n=3•2ⁿ
（Ⅱ）令S=

1

c1

+

2

c2

+…+

n

cn

=

1

3•2

+

2

3•22

+…+

n

3•2n

由错位相减得S=

2

3

-

1

3•2n-1

-

n

3•2n

故原不等式?

2

3

-

1

3•2n-1

＜

2

3

+loga(2x+1)(n∈N)恒成立
∴log_a（2x+1）≥0
（i）当a＞1时，2x+1≥1?x≥0
（ii）当0＜a＜1时，

2x+1＞0 2x+1≤1

∴-

1

2

＜x≤0

点评：考查学生灵活运用等比数列的通项公式，以及掌握双曲线的简单性质，理解不等式恒成立时取到的条件，掌握对数函数的图象与性质．