Question

已知双曲线a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一个焦点为(0，

cn

)(n≥2)，且c₁=6，一条渐近线方程为y=

2

x，其中{a_n}是以4为首项的正数数列，记T_n=a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n（n∈N^*）．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}的前n项和为S_n，求

lim

n→∞

S 2 n

Tn

；
（3）若不等式

1

c1

+

2

c2

+…+

n

cn

+

n

3•2n

＜

1

3

+loga(2x+1)(a＞0，a≠1)对一切自然数n（n∈N^*）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由双曲线方程得：C_n=a_n+a_n+1，由一条渐进线方程为 y=

2

x和a_n是以4为首项的正项数列得到a_n的通项公式化简，进而推出数列C_n的通项公式；
（2）分别计算T_n=a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n（n∈N^*），S_n，再求

lim

n→∞

S 2 n

Tn

；
（3）先把C_n的通项公式代入到不等式左边，错位相减得 S=

2

3

-

1

3•2n-1

-

n

3•2n

，把S代入到不等式左边得到要使不等式对一切自然数n恒成立 ?

2

3

-

1

3•2n-1

＜

2

3

+loga(2x+1)(n∈N)，即要log_a（2x+1）≥0，讨论a的取值得到x的范围．

解答：解：（1）由双曲线方程得：C_n=a_n+a_n+1，又因为一条渐近线 y=

2

x．
∴

an

an-1

=2，∴a_n=4•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹
∴C_n=3•2ⁿ
（2）S_n=6（2ⁿ-1），T_n=8（2²ⁿ-1），∴

lim

n→∞

S 2 n

Tn

=

9

2

（3）令S=

1

c1

+

2

c2

+…+

n

cn

=

1

3•2

+

2

3•22

+…+

n

3•2n

由错位相减得 S=

2

3

-

1

3•2n-1

-

n

3•2n

故原不等式 ?

2

3

-

1

3•2n-1

＜

2

3

+loga(2x+1)(n∈N)恒成立
∴log_a（2x+1）≥0
（i）当a＞1时，2x+1≥1⇒x≥0
（ii）当 0＜a＜1时，

2x+1＞0 2x+1≤1

∴-

1

2

＜x≤0

点评：本题以双曲线为载体，考查考查学生灵活运用等比数列的通项公式，以及掌握双曲线的简单性质，理解不等式恒成立时取到的条件，掌握对数函数的图象与性质．