Question

当

π

4

＜x＜

π

2

时，函数f(x)=

sin2x

2cosx(sinx-cosx)

的最小值是（　　）

• A、2
• B、1
• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,压轴题,转化思想

分析：通过x的范围，求出cotx的范围，化简函数的表达式为cotx的表达式，通过换元，利用二次函数求出函数f（x）的最小值．

解答： 解：因为

π

4

＜x＜

π

2

，所以cotx∈（0，1），
函数f(x)=

sin2x

2cosx(sinx-cosx)

=

1

2cotx(1-cotx)

，
令cotx=t，t∈（0，1），
f(x)=

sin2x

2cosx(sinx-cosx)

化为y=

1

2t-2t2

，t∈（0，1），
对于2t-2t²≤

1

2

，当且仅当t=

1

2

∈（0，1）时取得最大值，
函数f(x)=

sin2x

2cosx(sinx-cosx)

的最小值为2．
故选A．

点评：本题是中档题，考查三角函数的最值的求法，转化思想的应用，二次函数的最值，考查计算能力．