Question

函数f（x）=a^x（0＜a＜1且a≠1）在[2，3]上的最大值与最小值之和为3a²，则a的值是（　　）

• A、3
• B、2
• C、

  3

• D、

  2

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题要分两种情况进行讨论：①0＜a＜1，函数y=a^x在[2，3]上为单调减函数，根据函数y=a^x在[2，3]上的最大值与最小值和为3a²，求出a②a＞1，函数y=a^x在[2，3]上为单调增函数，根据函数y=a^x在[2，3]上的最大值与最小值和为3a²，求出a即可．

解答： 解：①当0＜a＜1时
函数y=a^x在[2，3]上为单调减函数
∴函数y=a^x在[2，3]上的最大值与最小值分别为a²，a³，
∵函数y=a^x在[2，3]上的最大值与最小值和为3a²，
∴a³+a²=3a²，
∴a=2（舍）
②当a＞1时
函数y=a^x在[2，3]上为单调增函数
∴函数y=a^x在[2，3]上的最大值与最小值分别为a³，a²
∵函数y=a^x在[2，3]上的最大值与最小值和为3a²，
∴a³+a²=3a²，
∴a=2
故答案为：2．

点评：本题考查了函数最值的应用，但解题的关键要注意对a进行讨论，属于基础题．