Question

18．已知函数f（x）=x²+bx+c的顶点为（1，-1）．
（1）解不等式|f（-x）|+|f（x）|≥4|x|；
（2）若实数a满足$|x-a|＜\frac{1}{2}$，求证：$|f（x）-f（a）|＜|a|+\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，将f（x）以及f（-x）读法解析式代入不等式，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）-f（a），根据绝对值的性质证明即可．

解答 （1）解：函数f（x）=x²+bx+c的顶点为（1，-1），
故$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}=1}\\{\frac{4c{-b}^{2}}{4}=-1}\end{array}\right.$，解得：b=-2，c=0，
故f（x）=x²-2x，
则不等式为|x²+2x|+|x²-2x|≥4|x|，
∵|x²+2x|+|x²-2x|≥|（x²+2x）-（x²-2x）|=|4x|=4|x|，
当且仅当x∈[-2，2]时取等号，
所以不等式恒成立，解集为x∈R．
（2）证明：|f（x）-f（a）|=|x²-2x-a²+2a|=|（x-a）（x+a-2）|
=|x-a||x+a-2|$＜\frac{1}{2}|x+a-2|=\frac{1}{2}|x-a+2a-2|≤\frac{1}{2}（|x-a|+2|a|+2）$
$＜\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}+2|a|+2}）=|a|+\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查解不等式问题以及不等式的证明，是一道中档题．