Question

2．定义函数max$\left\{{f（x），g（x）}\right\}=\left\{{\begin{array}{l}{f（x）（{f（x）≥g（x）}）}\\{g（x）（{f（x）＜g（x）}）}\end{array}}$，则max{sinx，cosx}的最小值为（　　）

• A． $-\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 首先根据题意建立信息，利用信息求出函数的关系式，利用函数的周期确定函数的最值，最后求出结果．

解答 解：根据已知的信息：函数max$\left\{{f（x），g（x）}\right\}=\left\{{\begin{array}{l}{f（x）（{f（x）≥g（x）}）}\\{g（x）（{f（x）＜g（x）}）}\end{array}}$，
则：f（x）=max{sinx，cosx}=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}]}\\{cosx，x∈[2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}）}\end{array}\right.$k∈Z，
f（x+2π）=max{sin（x+2π），cos（x+2π）}=max{sinx，cosx}=f（x）
所以函数f（x）的周期为2π．
则：函数f（$\frac{5π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以函数的最小值为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查的知识要点：信息题型的应用，三角函数的图象的应用．函数的图象及性质的应用，属于基础题型．