Question

已知函数f（x）=e^x-1-ax，当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）-xlnx零点个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：对F（x）=f（x）-xlnx进行化简，构造函数h（x）=

ex-1

x

-xlnx（x＞0），研究函数h（x）的单调性和最值，即可确定F（x）=f（x）-xlnx在定义域内是否存在零点；

解答： 解：函数F（x）=f（x）-xlnx的定义域为（0，+∞），
由F（x）=0，得a=

ex-1

x

-xlnx（x＞0），
令h（x）=

ex-1

x

-xlnx（x＞0），
则h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，
由于x＞0，e^x-1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e-1．
又h（2）=

e2-1

4

又当a=1时，对?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e^x-1＞x，即

ex-1

x

＞1，
当e-1＜a＜

e2-1

4

＜e-1时，函数F（x）有两个不同的零点；
当a=e-1或a=

e2-1

4

时，函数F（x）有且仅有一个零点；
当a＜e-1或a＞

e2-1

4

时，函数F（x）没有零点．

点评：本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法，属于中档题．