Question

8．如图，在△ABC中，AB=2，$\frac{3}{2}$cos2B+5cosB-$\frac{1}{2}$=0，且点D在线段BC上．
（1）若∠ADC=$\frac{3π}{4}$，求AD的长；
（2）若BD=2DC，$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}$=4$\sqrt{2}$，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{3}{2}cos2B+5cosB-\frac{1}{2}=0$，可得3cos²B+5cosB-2=0，求出sinB，再利用正弦定理求得AD；
（2）（2）由BD=2DC，得$\frac{{{S_{△ABD}}}}{{{S_{△ABD}}}}=2$，及$\frac{{\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD}}{{\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD}}=2$，利用$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}=4\sqrt{2}$，得AC
由余弦定理AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB可得BC、BD=4，再求面积．

解答 解：（1）由$\frac{3}{2}cos2B+5cosB-\frac{1}{2}=0$，可得3cos²B+5cosB-2=0，
所以$cosB=\frac{1}{3}$或cosB=-2（舍去）            …（2分）
所以$sinB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…（3分）
因为$∠ADC=\frac{3π}{4}$，所以$∠ADB=\frac{π}{4}$…（4分）
由正弦定理可得：$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sinB}$，所以$AD=\frac{8}{3}$…（6分）
（2）由BD=2DC，得$\frac{{{S_{△ABD}}}}{{{S_{△ABD}}}}=2$，所以$\frac{{\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD}}{{\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD}}=2$…（7分）
因为$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}=4\sqrt{2}$，AB=2，所以$AC=4\sqrt{2}$…（9分）
由余弦定理AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB可得BC=6或$BC=-\frac{14}{3}$（舍去）                                     …（11分）
所以：BD=4，
所以${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}•AB•BD•sinB=\frac{1}{2}×2×4×\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查了正余弦定理的应用，属于中档题．